Bahas Soal Matematika   »     ›  

Diketahui \( f(x) = x - 2 \) dan \( g(x) = 3x + 5 \). Tentukanlah:

1. rumus untuk \( f^{-1}(x) \) dan \( g^{-1}(x) \)
2. rumus untuk \( (g \circ f)(x), (g \circ f)^{-1}(x) \), dan \( \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)(x) \)

Pembahasan:

1. Mencari invers fungsi \(f(x)\) dan \(g(x)\).
\begin{aligned} f(x) = x - 2 \Leftrightarrow y &= x-2 \\[1em] x &= y + 2 \\[1em] f^{-1}(y) &= y + 2 \\[1em] f^{-1}(x) &= x + 2 \end{aligned}
\begin{aligned} g(x) = 3x + 5 \Leftrightarrow y &= 3x + 5 \\[1em] 3x &= y - 5 \\[1em] x &= \frac{y-5}{3} \\[1em] g^{-1}(y) &= \frac{y-5}{3} \\[1em] g^{-1}(x) &= \frac{x-5}{3} \end{aligned}
2. Untuk mencari \( (g \circ f)(x)\), perhatikan berikut:
\begin{aligned} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) = g(x-2) \\[1em] &= 3(x-2) + 5 \\[1em] &= 3x - 1 \end{aligned}

Selanjutnya, kita akan mencari \( (g \circ f)^{-1}(x) \) menggunakan cara pertama yang telah dijelaskan di awal artikel, yakni:

\begin{aligned} (g \circ f)(x) = 3x-1 \Leftrightarrow y &= 3x - 1 \\[1em] 3x &= y + 1 \\[1em] x &= \frac{y+1}{3} \\[1em] (g \circ f)^{-1}(y) &= \frac{y+1}{3} \\[1em] (g \circ f)^{-1}(x) &= \frac{x+1}{3} \end{aligned}

Berikutnya, kita akan mencari \( \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)(x) \) yang sebenarnya sama juga dengan \( (g \circ f)^{-1}(x) \). Namun, kita akan selesaikan dengan cara kedua mencari invers komposisi fungsi, yakni sebagai berikut:

\begin{aligned} (g \circ f)^{-1}(x) &= \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)(x) = f^{-1}(g^{-1}(x)) \\[1em] &= f^{-1} \left( \frac{x-5}{3} \right) = \frac{x-5}{3} + 2 \\[1em] &= \frac{x-5}{3} + \frac{6}{3} \\[1em] &= \frac{x+1}{3} \end{aligned}

Perhatikan bahwa baik cara pertama maupun cara kedua untuk mencari \( (g \circ f)^{-1}(x) \) memberikan hasil yang sama yakni \( (g \circ f)^{-1}(x) = \left(f^{-1} \circ g^{-1}\right)(x) = \frac{x+1}{3} \).